Aufgabe 1

a) Berechne .
b) Zeichne den Winkel und veranschauliche an diesem geeignet die Winkelbeziehung zwischen und .

Aufgabe 2

a) Berechne .
b) Zeichne den Winkel und veranschauliche an diesem geeignet die Winkelbeziehung zwischen und .

Aufgabe 3

a) Berechne .
b) Zeichne den Winkel und veranschauliche an diesem geeignet die Winkelbeziehung zwischen und .
 

Beide Teilaufgaben dieser Aufgabe gehören zur Leitidee Messen (L2), da sie das Berechnen von Winkelgrößen im Dreieck zum Gegenstand haben.
Beide Teilaufgaben fordern ein strategisches Vorgehen mit Verknüpfung von mathematischen Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten verschiedener Gebiete, weshalb sie dem Anforderungsbereich II zuzuordnen sind.

Wesentliche Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe bestehen in der Deutung der zugrundeliegenden Gleichung und im Umgang mit dieser. Um den Umgang mit Gleichungen im Kontext Winkelgrößen zu fördern, können zunächst z. B. mit  – weniger komplexen – Aufgaben Winkelgrößen berechnet und Winkelbeziehungen veranschaulicht werden (siehe "Aufgabenalternativen").

Strategien zur Berechnung von Winkelgrößen im Rahmen entsprechend komplexerer, innermathematischer Kontexte bedürfen zunächst der reflektierten Auseinandersetzung. Das gemeinsame Herausarbeiten von Strategiefragen und -techniken kann hilfreich sein:

• Welche Winkelgröße ist gegeben? Markiere sie in der Figur.
• Welche Winkelgröße ist durch eine Gleichung näher bestimmt und ist z. B. ein Vielfaches oder ein Teil eines anderen Winkels in der Figur? Notiere den Term im entsprechenden Winkelfeld.
• Welche Winkelgröße ist gesucht?
• Welche Aussagen lassen sich über die Winkelgrößen in der Figur noch treffen? Speziell: Gibt es aufgrund von besonderen geometrischen Bedingungen gleich große Winkel (Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, ...)? Ist eine weitere Winkelgröße aufgrund besonderer geometrischer Bedingungen bekannt bzw. zu erschließen? Ist die Summe mehrerer Winkelgrößen aufgrund besonderer geometrischer Bedingungen bekannt (Winkelsumme im n-Eck, Nebenwinkel, ...)?
• Lassen sich Terme/Gleichungen – Aussagen über die Winkelbeziehungen in der gegebenen Figur – aufstellen? Lassen sich unbekannte Winkelgrößen allgemein durch andere ausdrücken?

Die gewonnenen Einsichten und Heurismen können anschließend anhand weiterer ähnlicher Aufgaben gefestigt und vertieft werden. Dabei eignen sich z. B. Aufgaben zur Berechnung von Winkelgrößen bei Geradenkreuzungen, an parallelen Geraden oder in n-Ecken, die sich leicht entwickeln lassen oder auch in Schulbüchern zu finden sind.

1. Kästchen wurde angekreuzt.

In Teilaufgabe 1 ist zunächst eine Strategie zu entwickeln (K2), wie die fehlenden Winkelgrößen mit Bezug zu den gegebenen Bedingungen sowie zur Winkelsumme im Dreieck zu errechnen sind
(K5).

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten

• Antwortalternative (Fehllösung: 67,5°): Der Winkel alpha wird nicht beachtet; so ergibt sich 45° + 2 · alpha = 180° als zu lösende Gleichung (Defizit bzgl. K5).
• Antwortalternative (Fehllösung: 90°): Vermutlich wird alpha zunächst richtig berechnet und durch die Gleichung gamma = 2 · alpha unkritisch verdoppelt (Defizit bzgl. K2).
• Antwortalternative (Fehllösung: 135°): Es wird einfach die Differenz zwischen der bekannten Winkelgröße von beta und der Winkelsumme von 180° gebildet (Defizit bzgl. K2).

Richtiger Term
Beispiel(e)

• = 180 ° - 3 ⋅ α
• = 180 ° - α - 2α
  (Anm.: Hier wurde zwar nicht zusammengefasst, aber das Bildungsgesetz wurde korrekt erkannt.)

Alle anderen Antworten.
Beispiel(e)

• = α + 2α
• = 180° - α -
  (Anm.: Dies ist der allgemeine Term. Hier wird nicht die reine Abhängigkeit von α angegeben.)

In Teilaufgabe 2 müssen zunächst die Aufgabenstellung und die Begrifflichkeiten „allgemeiner Term“ und „in Abhängigkeit von“ erfasst werden (K6). Auch hier ist es wieder erforderlich, die in der Aufgabe gegebenen Informationen über die Winkelgröße von gamma in Form einer Gleichung mit bekanntem Wissen über Winkelbeziehungen im Dreieck strategisch zu verknüpfen (K2) und so beta in Abhängigkeit von alpha zu bestimmen (K5).

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten

• Es wird kein Bezug zur Größe der Innenwinkelsumme hergestellt, so dass zu vermuten ist, dass das Wissen darüber nicht aktiviert (Defizit bzgl. K5) oder kein vollständiger Bearbeitungsansatz gefunden werden konnte (Defizit bzgl. K2). Dies demonstriert die folgende Schülerlösung.
  
• Es wurde ein falscher Wert für die Größe der Innenwinkelsumme verwendet [Fehllösung: beta  =
  360° - 3 · alpha] (Defizit bzgl. K5).
• Der Term wird nicht in Abhängigkeit von alpha dargestellt, was auf Nichtverständnis der Begrifflichkeit „in Abhängigkeit von“ (Defizit bzgl. K6) oder auf fehlende strategische Fähigkeiten (Defizit bzgl. K2) zurückgeführt werden kann [Fehllösung: beta 0 180° - (alpha + gamma)].
• Es wird mit den Angaben aus Teilaufgabe 1 alpha, beta und gamma konkret berechnet, wie die folgende Schülerlösung zeigt (Defizit bzgl. K6).
  
• Die Gleichung wird fehlerhaft umgestellt oder der Term wird z. B. durch vergessene Klammern bzw. falsche Rechenzeichen fehlerhaft dargestellt, wie die folgende Schülerlösung demonstriert (Defizit bzgl. K5).