Leitidee

Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Raum und Form (L3), da gleichseitige bzw. gleichschenklige Dreiecke zu konstruieren sind, wobei besondere Eigenschaften dieser Figuren genutzt werden müssen.

Bei den genannten Schwierigkeiten bietet es sich an, den Schülerinnen und Schülern die in der Aufgabe beschriebene Konstellation als Datei zur Verfügung zu stellen bzw. die­se mit einem dynamischen Geometrieprogramm konstruieren zu lassen. Dabei kön­nen insbesondere die Eigenschaften einer Mittelsenkrechten erkannt bzw. thematisiert wer­den. Werden die Schülerinnen und Schüler nun aufgefordert, den Punkt C – ge­dank­lich oder mit Hilfe des Geometrieprogramms – entlang der Mittelsenkrechten zur Strecke  zu bewegen, entstehen verschiedene Dreiecke. Dies eine Aus­ein­an­der­set­zung mit den Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke. In die­sem Rahmen können die Schülerinnen und Schüler auch die Innenwinkelsumme für Drei­ecke „wieder“ entdecken und sich so die Berechnung der Basiswinkel in einem gleich­schenkligen Dreieck erschließen, sofern die Größe des dritten Winkels ange­ge­ben ist. Auf dieser Grundlage können dann ähnliche Aufgaben auch gut ohne dy­na­mi­sche Geometriesoftware bearbeitet werden. Dabei kann die Aufgabe leicht variiert bzw. durch weitere Fragestellungen ergänzt werden. Denkbar wäre es z. B. die Lage der Senk­rechten zu verändern und nach den Konsequenzen für die Seitenlängen und Winkel­größen eines bereits erzeugten Dreiecks zu fragen. Im Anschluss könnte man die Senk­rechte mit einer Kathete zur Deckung bringen und den Punkt nun entlang die­ser verschieben lassen. Dabei bieten sich insbesondere Fragen/Arbeitsaufträge an, wie:

• Welche verschiedenen Dreieckstypen können durch Verschieben des Punktes C entlang der Kathete erzeugt werden?
• Können gleichseitige oder gleichschenklige Dreiecke entstehen? Begründe.
• Zeichne einen Punkt C so ein, dass ein gleichschenkliges Dreieck entsteht.

Richtige Konstruktion des Punktes C, so dass das entstehende Dreieck ABC gleichseitig ist. Dies kann beispielsweise auf folgende Art und Weise geschehen:

Die Position von C lässt sich als Schnittpunkt eines Kreises um A und eines Kreises um B, jeweils mit Radius , bestimmen.

• ODER In A und in B werden 60°-Winkel an die Strecke abgetragen. C ist der Schnittpunkt der beiden freien Schenkel.
• ODER In A oder in B wird ein 60°-Winkel an die Strecke  angetragen. C ist der Schnittpunkt des zugehörigen freien Schenkels und der Mittelsenkrechte m.

Eine Beschreibung der Konstruktion ist jedoch nicht erforderlich.

Die fehlenden Maße müssen nicht eingetragen werden. Eine Beschriftung des Punktes C, der Winkel oder der Seiten des Dreiecks ist nicht erforderlich.

Zeichentoleranz ±2 mm bzw. ±1°

Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Konstruktionen.

Z. B.: Konstruktion des Punktes C, ohne dass dieser mit den beiden anderen Punkten A und B verbunden wird.

• ODER Es wird ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert.
• ODER Eine (mit Maßen beschriftete) aber falsche Skizze wird angefertigt.

Leitidee

Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Raum und Form (L3), da gleichseitige bzw. gleichschenklige Dreiecke zu konstruieren sind, wobei besondere Eigenschaften dieser Figuren genutzt werden müssen.

Allgemeine Kompetenz

Zur Bearbeitung dieser Teilaufgabe müssen dem Aufgabentext zunächst die relevanten Informationen entnommen werden (K6), die gegebenen geometrischen Konstellationen analysiert (K4) und die Mittelsenkrechte mit ihren Eigenschaften als relevant wahrgenommen werden. Es ist ausreichend zu wissen, dass die drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich lang sind. Dann kann das gleichseitige Dreieck direkt konstruiert werden (K2, K4, K5).

Anforderungsbereich

Bei dieser Teilaufgabe kann die charakteristische Eigenschaft gleichseitiger Dreiecke di­rekt zur Konstruktion genutzt werden, sodass sie dem An­for­de­rungs­be­reich I angehört.

Mögliche Fehler

• Die charakteristischen Eigenschaften von gleichseitigen bzw. gleichschenkligen Dreiecken sind nicht vertraut (Defizit bzgl. K4, K5).
• Wie die folgende Schülerlösung zeigt, werden die Eckpunkte A und B ein­fach mit dem „Endpunkt“ der gegebenen Mittelsenkrechten zu  verbunden. Dies lässt vermuten, dass die Aufgabe bzw. zumindest ihre Dynamik nicht erfasst wurde.

Figur 1

Anmerkungen:

• Die erforderliche Zeichengenauigkeit für die Position von C auf m beträgt
± 2 mm. Eine Beschriftung des Punktes C ist nicht erforderlich.

• Punkt C kann auch unterhalb von M eingezeichnet werden

Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Lösungen.

Z. B. jene Konstruktion, bei der die Basiswinkel jeweils 48° groß sind (Größe Basiswinkel = 180° - 132°)

Leitidee

Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Raum und Form (L3), da gleichseitige bzw. gleichschenklige Dreiecke zu konstruieren sind, wobei besondere Eigenschaften dieser Figuren genutzt werden müssen.

Allgemeine Kompetenz

Zur Bearbeitung der Teilaufgabe müssen dem Aufgabentext zunächst die relevanten Informationen entnommen werden (K6), die gegebenen geometrischen Konstellationen analysiert (K4) und die Mittelsenkrechte mit ihren Eigenschaften als relevant wahrgenommen werden. Zusätzlich erfordert die Bearbeitung dieser Teilaufgabe die Durchführung mehrerer Teil­schritte, welche sich die Schülerinnen und Schüler auch mit Hilfe der abgebildeten Zeich­nung erschließen können (K2). Hierbei werden die Eigenschaften gleich­schenk­li­ger Dreiecke sowie die Innenwinkelsumme für Dreiecke benötigt, um die zur Konstruk­tion fehlende Größe der Basiswinkel zu berechnen, bevor die Konstruktion dann durch­ge­führt werden kann (K5).

Anforderungsbereich

Da bei dieser Teilaufgabe die zur Konstruktion wichtigen Daten erst er­mit­telt werden müssen, ist es naheliegend, diese Teilaufgabe dem An­for­de­rungs­be­reich II zuzuordnen.

Mögliche Fehler

• Der Winkel bei C von 132° wird direkt zur Konstruktion des Dreiecks ge­nutzt. Er wird jedoch bei A abgetragen, so dass der Punkt C nicht mehr auf m liegt, wie die folgende Lösung veranschaulicht (Defizit bzgl. K6).

• Die Angabe 132° wird als Winkelsumme im Dreieck aufgefasst und gleich­mäßig auf die drei Innenwinkel eines Dreiecks verteilt. Derartige Lö­sun­gen deuten darauf hin, dass die Aufgabenstellung unkritisch gelesen wur­de.