Am Beispiel dieser Teilaufgabe kann die Aufteil-Vorstellung vom arithmetischen Mittel vertieft werden. Dazu müssen alle sieben Teilstrecken gedanklich aneinandergelegt werden, um dann zu überlegen, wie diese Gesamtstrecke neu aufzuteilen wäre, damit alle Teilstrecken gleich lang sind. Soll hingegen die Ausgleichs-Vorstellung reaktiviert werden, muss man bei den langen Tagesetappen gedanklich so viel wegnehmen und dies gleichzeitig bei den kürzeren Etappen hinzufügen, dass schließlich alle Tagesetappen gleich lang sind.
In einer Erweiterung dieser Aufgabe kann die Ausreißeranfälligkeit des arithmetischen Mittels thematisiert werden. In einem ersten Schritt kann dazu geprüft werden, wie viele Werte kleiner und wie viele Werte größer als das errechnete arithmetische Mittel sind. So lässt sich anschaulich problematisieren, ob die Daten symmetrisch um dieses Mittel streuen. Dies liefert auch die Einsicht, dass das arithmetische Mittel nicht notwendig auch ein Datum der gegebenen Datenmenge ist. Diese Einsicht kann durch eine Gegenüberstellung mit dem Median als weiterem Mittelwert vertieft werden. Dazu muss man die Datenmenge zunächst der Größe nach ordnen. Interpretiert man den Median als Mitte der geordneten Datenmenge (hier z. B. der nach aufsteigender Länge geordneten Tagesetappen), so teilt er diese – wieder anschaulich gesprochen – in zwei gleich große Hälften.
Hat man beide Mittelwerte zur Verfügung, kann man die Ausgangsdaten schrittweise verändern und jeweils beobachten, wie sich die beiden Mittelwerte verhalten. Bei diesem Verändern der Daten kann man z. B. die längste (oder die kürzeste) Tagesetappe weglassen und prüfen, ob das arithmetische Mittel bzw. ob der Median sich verändert. Entsprechend kann man die längste Tagesetappe durch einen großen Extremwert ersetzen, was dazu führt, dass der Median zwar gleich bleibt, aber das arithmetische Mittel nach oben wandert.
Als Erweiterung der Fragestellung und um die Aussagekraft des arithmetischen Mittels besser zu verstehen, kann erarbeitet werden, dass das arithmetische Mittel eine Reduzierung mehrerer Daten auf einen mittleren Wert bedeutet. Mit dieser Reduzierung geht immer auch ein Informationsverlust einher. Um dies zu verdeutlichen, können u. a. Aufzeichnungen von den Wetterdaten eines Monats betrachtet werden. Diese sind regelmäßig in Tageszeitungen zu finden. Heißt es beispielsweise, dass es im August eines Jahres durchschnittlich 20°C warm war, so sagt dies noch nichts über die Temperaturen an den einzelnen Tagen aus. Folglich kann man von diesem Mittelwert ausgehend nicht notwendig auf die Ausgangsdaten zurück schließen (Grundidee: Mittelwert als Schätzer für einen Datensatz). So kann es an einem Tag 35°C warm gewesen sein, während es an einem anderen Tag in diesem Monat nur 15°C warm war. Schließlich können Schülerinnen und Schüler anhand solcher Kontexte erfahren, dass nur die Ausgangsdaten deren Variabilität erkennen lassen und man zumindest qualitativ die Spannweite (oder die Streuung) kennen müsste, um die Aussagekraft eines Mittelwertes besser einschätzen zu können.
Weitere Kontexte, die sich für solche Betrachtungen anbieten, sind (überschaubare) Einkommensstatistiken oder auch Daten über den Benzinverbrauch eines PKW.
Beide Aspekte (Ausreißeranfälligkeit und Aussagekraft) zeigen exemplarisch, dass die Wahl eines mathematischen Modells immer nur unter Beachtung des Kontextes eingeschätzt und bewertet werden kann (vgl. hierzu auch Modul B zur Kompetenz Modellieren, 2011; Stichwort: Angemessenheit eines Modells). Dies wird durch einen flexiblen Umgang mit den Daten begünstigt. Dabei ist zu beachten, dass die Deutung von Daten stets von der Perspektive abhängt, wie im vorliegenden Beispiel schon gut im Einleitungstext deutlich wird.
km