Leitidee

Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da die Schüler sich mit einem Zufallsexperiment auseinandersetzen.

Allgemeine Kompetenz

Zur Lösung aller drei Teilaufgaben ist zunächst der Aufgabentext inhaltlich zu erfassen und das angegebene Baumdiagramm als Darstellung des Verlaufs des Zufallsexperiments sowie seines Ergebnisraums zu erfassen (K6, K3).

Anforderungsbereich

Aufgrund des verständnisorientierten Umgangs mit dem Baumdiagramm als mathematische Darstellung können alle drei Teilaufgaben dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden.

Allgemeine Kompetenz

In Teilaufgabe 1 ist dem Baumdiagramm zu entnehmen, dass es sich hier um Ziehen mit Zurücklegen handelt. Dazu werden die bei der zweiten Ziehung im Stoffbeutel enthaltenen Bälle betrachtet. Den Hinweis hierauf liefern und jene Äste des Baumdiagramms, die den zweiten Zug veranschaulichen (K4). Diese Äste sind mit Brüchen beschriftet, die als Wahrscheinlichkeiten zu deuten sind. Die notwendigen Übersetzungsaktivitäten zwischen Realität und Modell (K3) setzen eine gut ausgebildete Grundvorstellung zur Laplace-Wahrscheinlichkeit voraus. Abschließend ist die gewonnene Erkenntnis zu erläutern (K6).

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Anhand der auf der zweiten Baumebene angegebenen Wahrscheinlichkeiten wird nicht erkannt, dass Evelyn den Ball nicht wieder in den Stoffbeutel zurücklegt (siehe Schülerlösung), d. h. die Deutung der Brüche an den Ästen des Baumdiagramms bereitet Probleme. Wird missachtet bzw. ist nicht bekannt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten bei einem Zug jeweils 1 ist, werden die Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in Teilaufgabe 2 möglicherweise falsch ergänzt.
  
  2. Antwortalternative angekreuzt und Begründung:
  

• In der Erklärung wird richtigerweise auf die Wahrscheinlichkeiten beim Durchführen des Zufallsexperiments ohne Zurücklegen verwiesen. Diese werden jedoch falsch angegeben und es wird nicht erkannt, dass sich in diesem Fall nicht nur die Anzahl weißer Bälle auf 2, sondern auch die Gesamtzahl der Bälle auf 6 verringert (siehe Schülerlösung). Derartige Fehler deuten darauf hin, dass dem Schüler die Bedeutung des Zählers und des Nenners nicht bekannt ist (Defizit bzgl. K3).
  
  1. Antwortalternative angekreuzt und Begründung:
  

Angekreuzt wird „Evelyn legt den ersten gezogenen Ball wieder zurück.“
UND
Eine Erklärung wird gegeben, die Bezug zu den im Baumdiagramm angegebenen, gleich bleibenden Pfadwahrscheinlichkeiten nimmt.

Mögliche Erklärungen:

Der Ball wird wieder zurückgelegt, denn bei beiden Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, einen weißen Ball zu ziehen, gleich groß.
ODER
Der Ball wird wieder zurückgelegt, denn beim ersten und beim zweiten Zug liegen jeweils 7 Bälle in der Urne (Nenner der angegebenen Wahrscheinlichkeiten einen gelben Ball zu ziehen).

ODER (Grenzfall)
Da sonst die Wahrscheinlichkeit nicht gleich wäre.

ODER
Weil wieder da steht.

Anmerkung:
RICHTIG ist auch zu vergeben, wenn nichts angekreuzt wurde, aber aus der Erklärung ersichtlich ist, dass so entschieden wurde.

Alle anderen Antworten.

Z.B.:
Der Ball wird wieder zurückgelegt. Das kann man anhand des Baumdiagramms ablesen.

Allgemeine Kompetenz

Zur Lösung der Teilaufgabe 2 bedarf es zusätzlich der Kompetenz des Problemlösens. So kann das Baumdiagramm - als informative Figur zur Darstellung des Zufallsexperiments und dessen möglicher Ergebnisse - zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit genutzt werden.
Auch das Analogieprinzip, d. h. der Bezug zu Lösungswegen bereits gelöster und vergleichbarer Aufgaben, kann hilfreich sein (K2). Die Rechnungen selbst sind einfach und beschränken sich auf die Multiplikation zweier Brüche (K5).

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Anhand der auf der zweiten Baumebene angegebenen Wahrscheinlichkeiten wird nicht erkannt, dass Evelyn den Ball nicht wieder in den Stoffbeutel zurücklegt, d. h. die Deutung der Brüche an den Ästen des Baumdiagramms bereitet Probleme. Wird missachtet bzw. ist nicht bekannt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten bei einem Zug jeweils 1 ist, werden die Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in Teilaufgabe 2 möglicherweise falsch ergänzt.
   

Richtige und vollständige Ergänzung des Baumdiagramms.
Z.B.:

Die einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten können auch in Form von Prozentsätzen oder Dezimalzahlen (mit korrekter Rundung) angegeben werden.

Allgemeine Kompetenz

Zur Lösung der Teilaufgabe 3 bedarf es ebenfalls zusätzlich der Kompetenz des Problemlösens. So kann das Baumdiagramm - als informative Figur zur Darstellung des Zufallsexperiments und dessen möglicher Ergebnisse - zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit genutzt werden.
Auch das Analogieprinzip, d. h. der Bezug zu Lösungswegen bereits gelöster und vergleichbarer Aufgaben, kann hilfreich sein (K2). Die Rechnungen selbst sind einfach und beschränken sich auf die Multiplikation zweier Brüche (K5).

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Das Ergebnis wird in Prozent angegeben, wobei Umwandlungsfehler auftreten (Fehllösung z. B.: 0,33%) (Defizite bzgl. K5).
   
• Aufgrund von falsch ergänzten Wahrscheinlichkeiten entlang der einzelnen Äste des Baumdiagramms kommt es zu fehlerhaften Berechnungen (Fehllösung: z. B.: )
   
• Es wird nicht erkannt, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander zu multiplizieren sind, stattdessen werden diese fälschlicherweise addiert (Fehllösung: )

ODER
ein Dezimalbruch aus dem Intervall [0,32; 0,33], auch Angaben mit dem Zusatz ca. oder Angaben als Prozentsatz werden als RICHTIG gewertet.
Z.B.:
ca. 0,33 ODER ca. 33%

Anmerkungen:

• Das Ergebnis kann als Bruch, als Dezimalbruch oder als Prozentsatz dargestellt werden.
• Rundungsfehler oder -ungenauigkeiten sollen nicht negativ bewertet werden, sofern der Rechenweg – falls erkennbar - inhaltlich korrekt ist.
• Wird ausgehend von einer in Teilaufgabe 2 falsch bestimmten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis folgerichtig ermittelt, wird Code 1 vergeben.
• Wird diese Teilaufgabe als Ziehen ohne Zurücklegen bearbeitet und die zugehörige Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis richtig errechnet:
  wird Code 1 vergeben.

Alle anderen Antworten.
Z.B.: