Aufgabe 1

Jede der abgebildeten Figuren stellt eine besondere Zahl, eine Quadratzahl dar.

a) Setze die Figurenfolge um zwei weitere Figuren (Q4 und Q5) fort. Gib jeweils die Anzahl der benötigten Plättchen an.
b) Gib an, wie viele Plättchen vor der 6. auf die 7. Figur dazukommen.
c) Notiere eine Formel, mit deren Hilfe man eine beliebige Quadratzahl Q_n aus deren Vorgänger berechnen kann.

Die Aufgabe gehört zur Leitidee Zahl (L1), weil die Dreieckszahlen und deren verschiedene Darstellungsmöglichkeiten im Mittelpunkt stehen. Auch die Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) spielt eine Rolle, da Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge genutzt werden bzw. funktionale Zusammenhänge zu erkennen und in Form eines Terms zu beschreiben sind.
Zur Bearbeitung der Aufgabe sind dem Text sowie der Tabelle zunächst die relevanten Informationen zu den Dreieckszahlen und deren Bildung aus der Summe aufeinander folgender natürlicher Zahlen zu entnehmen und inhaltlich zu erfassen (K6, K4).

Zur Unterstützung der SuS bei der Bearbeitung der Aufgabe können Ihnen Plättchen zur Verfügung gestellt werden, mit deren Hilfe sie die Dreieckszahlen darstellen können.
Durch diese handelnde Herangehensweise kann ihnen der Einblick in die Gesetzmäßigkeit der Dreieckszahlen und damit dessen Übertragung auf die bildliche und die symbolische Ebene erleichtert werden. Da insbesondere das Aufstellen einer Rekursionsformel
sowie einer geschlossenen Formel im Unterricht oft Schwierigkeiten bereitet, können die SuS zunächst angeregt werden, die Gesetzmäßigkeit der Dreieckszahlen in Worten zu beschreiben bzw. eine „Wortgleichung“ aufzustellen. Die Wortgleichung kann anschließend in eine formale Gleichung überführt werden.

Bei leistungsschwächeren Lerngruppen können auch die Quadratzahlen als Punktemuster dargestellt und deren Gesetzmäßigkeit analysiert werden (siehe Bsp. unter "Aufgabenalternativen").

D₅ = 15

D₆ = 21

Bei Teilaufgabe 1 und 2 ist zu erkennen, wie sich eine Dreieckszahl aus ihrem Vorgänger ergibt (K2). Dies kann unter Rückgriff auf die zeichnerische Darstellung der einzelnen Dreieckszahlen geschehen (K4).
Die Teilaufgaben 1, 2 und 4 gehören zum Anforderungsbereich II, da es um die Analyse und Anwendung eines Bildungsgesetzes geht. Dessen verallgemeinernde Darstellung wird in den Teilaufgaben 3 und 5 eingefordert, weshalb diese beiden Teilaufgaben dem
Anforderungsbereich III angehören.

4. Kästchen wurde angekreuzt.

Bei Teilaufgabe 1 und 2 ist zu erkennen, wie sich eine Dreieckszahl aus ihrem Vorgänger ergibt (K2). Dies kann unter Rückgriff auf die zeichnerische Darstellung der einzelnen Dreieckszahlen geschehen (K4).
Die Teilaufgaben 1, 2 und 4 gehören zum Anforderungsbereich II, da es um die Analyse und Anwendung eines Bildungsgesetzes geht. Dessen verallgemeinernde Darstellung wird in den Teilaufgaben 3 und 5 eingefordert, weshalb diese beiden Teilaufgaben dem
Anforderungsbereich III angehören.

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten

• 1. Antwortalternative (Fehllösung: 6): Diese Fehllösung wird gegebenenfalls gewählt, wenn die Addition von 6, wie sie zur Lösung der Teilaufgabe 1 angewendet werden kann, unreflektiert für die Bildung weiterer Dreieckszahlen genutzt wird.
• 2., 3. oder 5. Antwortalternative (Fehllösungen 9, 10 bzw. 12): Die Zahl entspricht einer der beiden vorhergehenden bzw. der nachfolgenden Dreieckszahl. Das Bildungsgesetz der Dreieckszahlen wurde nicht erkannt (Defizit bzgl. K2, K4).

D_n = D_n-1 + n
(Anm.: Akzeptiert werden alle äquivalenten Formeln, auch unter Verwendung anderer (nachvollziehbarer) Bezeichnungen.)

Teilaufgabe 3 macht es nun zusätzlich erforderlich, den Zusammenhang zwischen zwei aufeinanderfolgenden Dreieckszahlen in eine allgemeine Rekursionsformel zu übersetzen (K5).
Die Teilaufgaben 1, 2 und 4 gehören zum Anforderungsbereich II, da es um die Analyse und Anwendung eines Bildungsgesetzes geht. Dessen verallgemeinernde Darstellung wird in den Teilaufgaben 3 und 5 eingefordert, weshalb diese beiden Teilaufgaben dem
Anforderungsbereich III angehören.

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten

• Es wird keine Rekursionsformel angegeben. Stattdessen wird das Vorgehen anhand eines Beispiels erläutert (Defizit bzgl. K2, K5).

(Anm.: Der unausgerechnete Term ist ebenfalls als richtig anzusehen.)

Zur Bearbeitung von Teilaufgabe 4 ist Peters Vorgehensweise anhand des Textes und der Abbildung nachzuvollziehen (K4, K6). Anschließend ist dies auf die Dreieckszahl D4 zu übertragen (K2). Dabei kann es auch hilfreich sein, eine entsprechende Zeichnung anzufertigen.
Die Teilaufgaben 1, 2 und 4 gehören zum Anforderungsbereich II, da es um die Analyse und Anwendung eines Bildungsgesetzes geht. Dessen verallgemeinernde Darstellung wird in den Teilaufgaben 3 und 5 eingefordert, weshalb diese beiden Teilaufgaben dem
Anforderungsbereich III angehören.

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten

• Es wird eine Zeichnung zur Dreieckszahl D4 angefertigt, diese jedoch nicht in einen Term übersetzt (Defizit bzgl. K5).
• Die Anzahl benötigter Plättchen wird berechnet bzw. aus der Tabelle abgelesen, jedoch kein Term aufgestellt (Defizit bzgl. K5).
• Mittels des Terms 4 x 5 wird die Anzahl der Plättchen für das Gesamtmuster berechnet. Die Division durch zwei und damit die Berechnung der Dreieckszahl D4 unterbleibt. Dies lässt vermuten, dass das dargestellte Vorgehen nicht richtig nachvollzogen werden konnte (Defizit bzgl. K2).

(Anm.: Akzeptiert werden alle äquivalenten Formeln, auch unter
Verwendung anderer (nachvollziehbarer) Bezeichnungen.)

Hierauf aufbauend ist bei Teilaufgabe 5 eine allgemeine Formel zur expliziten Berechnung einer beliebigen Dreieckszahl anzugeben (K5).
Die Teilaufgaben 1, 2 und 4 gehören zum Anforderungsbereich II, da es um die Analyse und Anwendung eines Bildungsgesetzes geht. Dessen verallgemeinernde Darstellung wird in den Teilaufgaben 3 und 5 eingefordert, weshalb diese beiden Teilaufgaben dem
Anforderungsbereich III angehören.

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten

• Es wird lediglich der Term zur Berechnung einer bestimmten Dreieckszahl notiert. Eine Verallgemeinerung erfolgt nicht (Defizit bzgl. K2 oder K5).
• Im Term werden zwei verschiedene Variablen verwenden (z. B. x und y), aus denen nicht hervorgeht, dass einen Zahl und deren Vorgänger gemeint ist (Defizit bzgl. K5).