Leitidee

Diese Aufgabe gehört zur Leitidee Zahl (L1), da ihre Lösung den Umgang mit rationalen Zahlen erfordert und Rechengesetze zu deren Multiplikation und Division anzuwenden sind.

Allgemeine Kompetenz

Die in der Aufgabe eingeforderte Erklärung beinhaltet darlegende (K6) und begründende Teile (K1). So kann unter Rückgriff auf die Regeln zur Multiplikation und Division rationaler Zahlen (K5) begründet werden, dass sich das Vorzeichen des Ergebnisses an der Anzahl der negativen Faktoren im Term erkennen lässt (K1). Alternativ kann in der Begründung auf die geometrische Bedeutung des Minuszeichens im Sinne einer Spiegelung am Nullpunkt der Zahlengerade Bezug genommen werden.

Anforderungsbereich

Die begründende Auseinandersetzung mit dieser Aussage rechtfertigt die Einordnung der Aufgabe in den Anforderungsbereich II.

Folgende Schwierigkeiten und Fehler sind zu erwarten:

• Siehe folgende Schülerlösung: Die Vorzeichenregeln bei der Punktrechnung scheinen nicht bekannt zu sein. Möglicherweise wird angenommen, dass das Vorzeichen der ersten Zahl das Vorzeichen des Ergebnisses bestimmt (Defizit bzgl. K5).
  
• Die folgende Schülerlösung lässt vermuten, dass nicht nur die Vorzeichenregeln bei der Punktrechnung unbekannt sind, sondern dass der Term auch nur oberflächlich betrachtet wird und die Anzahl der Minuszeichen unberücksichtigt bleibt.
  
• Siehe folgende Schülerlösung: In der Erklärung wird darauf verwiesen, dass die Multiplikation mit bzw. die Division durch eine negative Zahl immer eine negative Zahl ergibt. Dieser Fehler lässt vermuten, dass an zweigliedrigen Termen gewonnene Einsichten unkritisch auf mehrgliedrige Terme übertragen (generalisiert) werden.
  

Den erwähnten Schwierigkeiten kann im Unterricht in unterschiedlicher Weise entgegnet werden. So können einem Term beispielsweise sukzessive mehrere Glieder mit unterschiedlichem Vorzeichen hinzugefügt und deren Auswirkung auf das Vorzeichen des Endergebnisses untersucht werden.

Alternativ bietet es sich an, die Schüler verschiedene Terme berechnen und die Terme nach einem vorgegebenen Kriterium (z.B. Anzahl der negativen Vorzeichen oder Vorzeichen des Ergebnisses) in Gruppen sortieren zu lassen. Arbeiten die Schüler in Kleingruppen und visualisieren ihre Sortierung mittels Karten, kann diese im Plenum präsentiert und diskutiert werden. In diesem Zusammenhang kann dann die Abhängigkeit des Vorzeichens des Endergebnisses von der Anzahl negativer Faktoren des Terms herausgearbeitet und begründet werden.

Alternativ können die Schüler auch aufgefordert werden, unvollständige Terme so zu ergänzen, dass ein vorgegebener Termwert erzielt wird. Müssen in diesem Rahmen auch Vorzeichen und/oder Rechenzeichen ergänzt werden, kann deren Auswirkung auf den Wert des Terms in den Mittelpunkt der Arbeit gerückt werden. Im Sinne von Umkehraufgaben ist es ebenso denkbar, die Schüler eigene Terme zu einem vorgegebenen Wert finden zu lassen.

Die Erklärung muss sinngemäß beinhalten, dass der Wert eines Produktes negativ ist, wenn die Anzahl der Faktoren mit negativem Vorzeichen ungerade ist.

Anmerkungen:

• Der Gebrauch der Fachsprache ist hier nicht erforderlich, der Sinn muss aber erkennbar sein.
• Es muss nicht explizit genannt werden, dass keiner dieser Faktoren Null sein darf, da im gegebenen Beispiel alle Faktoren ungleich Null sind.

Z.B.:
Es taucht dreimal das Minuszeichen auf!

ODER
Gäbe es eine gerade Anzahl von Faktoren mit negativem Vorzeichen, so wäre das Produkt positiv.

ODER
Wenn man (-):(-) rechnet, ist das Ergebnis positiv. Wenn man dann (+)⋅(+) rechnet, ist es auch positiv. Wenn man dann aber dieses Ergebnis :(-) rechnet, ist die Zahl negativ. Das heißt, das Ergebnis ist kleiner Null.

ODER (Grenzfall)
- : - ⋅ + : - = -

Alle anderen Antworten.

Z.B.:
-4,8 : (-0,24) · (132,6) : (-3,1) ≈ -855,5 < 0
(konkrete Berechnung des Terms)